Matrix67: My Blog » Blog Archive » 44個精彩的物理趣題

    這個 Blog 幾乎一直在講數學趣題，卻很少提到物理趣題。其實，我個人覺得，物理也是相當好玩的（我是化學不好才選的文科）。隱約記得初中搞物理競賽時，曾見過大量讓人大呼過癮的好題。前幾天看到了一個絕好的網站，裡面有相當多的物理題目，讓我激動了好一陣子。我蒐集整理了裡面的一些好題，加上了我自己的一些補充，在這裡和大家分享。不過，由於我的物理實在不怎麼樣，如果出現什麼錯誤，請大家及時糾正。

    那個網站上的「官方解答」並不見得靠譜，也不知是因為我沒有悟到，還是因為它真的不靠譜。不管怎樣，我給出的基本上還是它的官方答案。其實，閱讀過程中你會發現，答案是次要的，真正有趣的其實是問題本身。

    幾乎從沒寫過物理題目的 Blog ，想要用一篇文章總結物理趣題，因此毫無疑問——這是一篇非常，非常，非常長的文章。建議大家用自己喜歡的方式做個書籤，一天看一點。如果覺得還不過癮，推薦訂閱物理大牛 EagleFantasy 的 Blog。

    另外，此日誌一出，想必又會收到無數郵件，詢問我作圖用的什麼工具的。在此就先回答了——請見 FAQ 。

    開始吧。

 
    有一塊 V 字形木板，兩側與地面的夾角都是 θ 。一根密度均勻的繩子放在木板上，繩子與木板之間的摩擦係數為 1 。整個系統左右對稱。沒挨著木板的那段繩子所佔的比例最大是多少？此時 θ 是多少度？

    

    用一些非常初等的方法可以得到，答案是 (√2 - 1)² ≒ 0.172 ，此時 θ = 22.5° 。具體解答可以見 http://star.tau.ac.il/QUIZ/05/sol_rope.pdf 。

 
 
    一個長、寬、高分別為 a 、 b 、 c 的長方體物塊，斜靠在一個牆角。由於牆壁和地面都是完全光滑的，因此物塊將會開始下滑。什麼時候，物塊會脫離牆壁？

    

    為瞭解決這個問題，首先需要把物塊和地面的夾角記作 θ ，物塊下滑過程中的各種物理量都可以用 θ 來表示。然後，解決這個問題的關鍵就在於，當物塊脫離牆壁時，物塊向右的加速度就消失了，這個臨界點就由等量關係 dv_x / dθ = 0 給出。不過，由此產生的方程非常複雜，我們只能用數值的方式去解它。

 
 
    有一個半圓柱體橫放在水平桌面上，截面的半徑為 R 。我們在半圓柱體上放一塊木板，試圖讓它在半圓上保持平衡。假如這塊木板非常薄，那麼這塊木板很容易放穩，即使有些小動靜，木板也會自動恢復平衡。但考慮另外一個極端，假如這是一塊非常厚非常厚的木板（甚至是大樓一般的形狀），它顯然不能穩放在這個半圓上。那麼，這中間一定會有一個臨界點。這個臨界點在哪裡？換句話說，這個半圓上最多能放穩一塊多厚的木板？

    

    把半圓的半徑記作 R ，把木板的厚度記作 t 。如果把木板平放在半圓上，其重心的高度就是 R + t/2 。假如這塊木板傾斜了一個微小的角度 θ ，那麼圖中 M'T 的長度等於弧 MT 的長度，即 2πR‧(θ/2π) = R‧θ 。此時，木板的重心 G' 的高度變為了 (t/2)cosθ + (R‧θ)sinθ + R‧cosθ。為了讓木板保持平衡，不會自動往下滑，我們需要讓新的重心高度大於原來的重心高度，即 (t/2)cosθ + (R‧θ)sinθ + R‧cosθ > R + t/2。解出不等式，再令 θ→0 ，即可得到 t < 2R。也就是說，一旦木板的厚度超過半圓的直徑，木板就無法放穩了。

 
 
    假如你面向東邊，站在冰面上，鞋底與冰面完全沒有摩擦。你能否做出一系列動作，使得自己最後能面向西邊站立？

    

    可以。只需要重複「伸臂－揮臂－屈臂」的動作，你的身體便會向反方向轉動一點。期待實驗黨。

 
 
    用過多年的插座（尤其是插過大功率電器的插座），右邊的孔（火線）往往會有過熱的跡象。如果是劣質插座，加上經常插拔插頭的話，右邊的孔甚至會有燒黑了的痕跡。明明是通過相同大小的電流，為什麼右邊的孔會被燒得更厲害呢？

    目前，這個問題沒有一個所謂的標準答案。當然，這個現象本身是否存在也是存疑的。大家不妨來說說自己家裡插座的情況。

 
 
    呼拉圈是怎麼轉起來的？人應該做一個什麼樣的運動？呼拉圈的轉動頻率是由什麼決定的？和人的體形、運動速度、運動方式有關係嗎？是否存在一個最優的頻率？⋯⋯

    我有幾件事情死活搞不明白，吹泡泡是怎麼吹出來的，小舌顫音是怎麼發出來的，騎車不動把手是怎麼實現拐彎的⋯⋯當然，還有呼拉圈是怎麼轉起來的。和呼拉圈有關的問題似乎永遠也列舉不完。如果你真的把它當成一回事仔細分析，你會發現這不是一般的困難。
    2004 年， Biological Cybernetics 上發表了一篇長達 15 頁的論文，論文題目是 Coordination Modes in the Multi-Segmental Dynamics of Hula-Hooping 。這篇論文終於不負眾望，成功地摘得了諾貝爾獎——當然，是搞笑版的。

 
 
    投一枚硬幣，如果是正面，我就去打球，如果是反面，我就去打遊戲，如果立起來，我就去學習。不知道大家第一次看到這個笑話時，有沒有想過，如果一枚硬幣真的有 1/3 的概率正面朝上，有 1/3 的概率反面朝上，有 1/3 的概率立起來，那麼這個硬幣的半徑與厚度滿足什麼樣的關係？

    

    這枚硬幣必須滿足，把它立起來後，即使傾斜 30 度仍然不倒。這樣，硬幣直立的「勢力範圍」才會達到 120 度。因此，硬幣的直徑應該是厚度的 √3 倍。

 
 
    考慮某顆星球，它由某種密度均勻的物質組成，其質量為 M ，體積為 V 。如果這顆星球是一個球體，那麼它的半徑 R = ((3V) / (4π))^1/3，星球表面上的重力加速度則為 g = GM / R² = GM((4π) / (3V))^2/3，其中 G 是萬有引力常數。
    考慮這顆星球所有可能的形狀，怎樣的形狀才會讓星球表面的某一點重力加速度達到最大？最大值是多少？

    下圖就是讓表面某處的重力加速度達到最大的星球形狀。這個圖形是一個稍微有些變形的球體，整個圖形是一個以 z 方向為軸的旋轉體，頂端的 m 點即是重力加速度最大的點，它的重力加速度為 g = (4/5)(15/4)^1/3π^2/3M / V^2/3，只比球形星體的重力加速度大 2.6% 。這是又一個經典的例子——圓形似乎並不是那麼完美。

    

    這個問題的解法非常漂亮。首先，假設我們想要讓星體表面上的某個點 m 的重力加速度最大，並且所受重力方向在 z 軸上，那麼這個星體必然是沿 z 軸方向對稱的。否則，取出不對稱的一層，把多的部分填進少的部分讓它變成一個完全對稱的圓盤，這將會讓 m 點在豎直方向上的受力變大。不斷這樣做直到這個圖形沿 z 軸完全對稱，顯然就得到了一個更優的形狀。
    接下來的步驟就真的神了。現在，在星體上取一個非常細的圓環，假設它的質量是 dM 。那麼，這個圓環所貢獻的重力加速度大小就是 G‧dM‧cosθ /r² 。如果把這個圓環從星體中挖掉，放到其它的位置上，那麼新的圓環將會有新的 r 值和 θ 值。當整個形狀達到最優時，這個形狀將位於「極值點」的位置，也就是說它的「微分」為 0 ，任何微小的變動都不會改變 m 的加速度。這就意味著， cosθ / r² 是一個常數。這個條件就確定出整個星體的形狀。

 
 
    Fermat 光程最短原理指出，光從 A 點到 B 點，總是沿著最快的路徑傳播。這一神奇的定律一下子就把直線傳播定律、反射定律、折射定律統一在了一起。不過，後來我們知道了，更一般的描述應該是，光總是沿著光程處於駐點的路徑傳播。為什麼會加上這一條？有沒有光程極大的例子呢？

    

    這裡有一個例子。考慮橢圓內的兩個焦點 A 、 B ，和橢圓上的一點 M 。顯然，不管 M 取在哪兒， AM + BM 都是相同的。現在，在橢圓內部畫一條曲線，這條曲線與橢圓相切於 M 點。然後，擦掉原來的橢圓，把這條曲線視作鏡面。顯然， AMB 仍然是一條反射光線，但從其它地方反射，光程都會小於 AMB 。 AMB 是一個光程極大的路徑。

 
 
    物理量的單位總是由基本單位（質量、長度、時間等）的冪相乘得來的。比如，能量的單位就是 1J = kg‧m²‧s^-2 。為什麼沒有什麼物理量，它是由基本單位通過更複雜的形式導出的？比如說，為何沒有什麼物理量，它的單位是 sin(kg)‧log(m) ？

    這是一個非常有趣，無疑也是非常深刻的問題。它讓我們開始認真思考一個看上去很不像問題的問題：什麼是物理量？什麼是物理單位？我們需要去挖掘物理量和物理單位的最基本、最本質的性質。
    網站上的標準答案是，只有這種形式的導出單位才能保證，在不同的單位制下，得到的導出單位是等價的。
    具體地說，物理單位的作用就是用來描述，當各個基本單位的尺度變化以後，這個物理量會發生怎樣的變化。比如說，密度單位是質量除以長度的三次方，就表明如果質量擴大到原來的 2 倍（或者說單位量變成了原來的 1/2 ），長度擴大到原來的 4 倍（或者說單位量變成了原來的 1/4 ），那麼這個物理量將會變成原來的 2/4³ = 1/32 。
    現在，假設某個物理量的單位是質量的正弦乘以長度的對數。按照國際標準單位制，這個單位是 sin(kg)‧log(m) 。假如單位換成了 sin(g)‧log(cm) ，那麼這個物理量將會變成原來的 sin(1000)‧log(100) ≒ 3.80792 。再繼續換算成 sin(mg)‧log(mm) ，物理量應該繼續變成原來的 sin(1000)‧log(10) ≒ 1.90396 。但是，如果從 sin(kg)‧log(m) 直接變到 sin(mg)‧log(mm) ，物理量應該變成原來的 sin(1 000 000)‧log(1000) ≒ -2.41767 ，這就和前面的結果矛盾了。利用一些微積分知識可以證明，如果一個合成物理單位不會出現這樣的問題，它必然是基本單位的冪的乘積的形式。
    不過，這個解釋並不能讓我十分滿意。大家怎麼看呢？

 
 
    有一個無窮大的正方形網格，每條小線段都是 1Ω 的電阻絲。求相鄰兩點間的等效電阻阻值。

    

    這個問題有一個很妙的解法。假設一個大小為 1A 的電流從紅點處流入，從各個無窮遠處流出。由對稱性，有 (1/4)A 的電流將會流過紅藍兩點之間的線段。現在，再假設一個大小為 1A 的電流從各個無窮遠處流入，從藍色點流出。由對稱性，紅藍兩點之間的線段仍然有 (1/4)A 的電流。現在，把兩種情況疊加在一起看，大小為 1A 的電流從紅點進去從藍點出來，那麼，紅藍兩點間的線段就有 (1/2)A 的電流。因而，兩點間的電壓就是 (1/2)A‧1Ω = (1/2)V 。因而兩點間的等效電阻就是 (1/2)V / 1A = (1/2)Ω。

    說到無窮網格電阻的問題，我們有說不完的話題。這個問題本身的擴展非常之多。例如，我們可以把問題擴展到 N 維的情形：N 維無限電阻網格中，相鄰兩點的等效電阻是多少？利用同樣的方法可以得出，答案就是 1/N。

    回到二維情形，如果我們換一個擴展方向，改問對角兩點間的電阻，上述分析方法就不行了。而這個加強版問題的答案也更加玄妙：兩點間的阻值為 (π/2)Ω 。大家可以在網上很多地方查到這個加強版問題的解法。

    

    xkcd 有一個經典漫畫，形象地描繪出 nerd 們被數理趣題折磨的感受。當然，這幅畫本身也折磨了不少人，網上湧現出大量對這個問題的討論。

    

    還有一種經典的無窮電阻問題：一個向右無窮延伸的梯子形網格，每條線段都是 1Ω 的電阻，求兩點間的等效電阻。

    

    問題的解法非常漂亮。假設我們要求的答案是 R，則 R 可以看作是三個 1Ω 的電阻串聯，然後把一個阻值為 R 的電阻（也就是它本身）與中間那個 1Ω 電阻並聯所得。於是得到等量關係 R = 1 + 1/(1+1/R) + 1，解得 R = 1 + √3。

    

    還有一些經典的求電阻問題。其中一個問題是，一個正方體的 12 條棱上各有一個 1Ω 的電阻，求距離最遠的兩個頂點之間的等效電阻。 2007 年 10 月份 IBM Ponder This 的題目則是，分別考慮五種正多面體，如果每條棱上各有一個 1Ω 的電阻，則相鄰兩頂點的等效電阻是多少？巧妙地利用對稱性，這幾個問題都可以迅速被秒殺。

 
 
    假設有一個圓錐形的冰山，冰山表面絕對光滑。你打算把一個繩圈套在山尖上，然後沿著繩索爬上去。考慮兩個極端情況：如果冰山特別尖，頂角特別小，這個計劃自然不成問題；但若冰山特別「肥」，頂角特別大，向下拉繩子後，繩圈將會滑出山尖。這中間一定有一個臨界點，也就是繩圈掉不出來的最大頂角。這個頂角是多大？

    

    這是一個非常有趣的問題。問題的本質就是，繩圈在怎樣的圓錐面上才存在「被拉緊」的穩定狀態。容易想到，繩子被拉緊，意味著繩圈從 A 點出發，將沿最短路徑繞過山尖一週，再回到 A 點。如果把圓錐的側面展開成扇形，繩圈其實就像下面這樣（圖中的 A 點和 A' 點在圓錐上是同一個點）。

    

    顯然，當這個扇形的頂角小於 180 度時，這樣的繩圈才可能存在；而當這個扇形的頂角大於 180 度時，拉緊的繩圈就會滑到山尖外面去。據此不難推出，所求的臨界情況就是，圓錐的高與母線的夾角為 30 度。

 
 
    n 塊相同的木板重疊，最多能夠伸出桌面多遠？

    

    這是一個非常經典的問題。傳統的答案是，把第一塊木板的重心放在第二塊木板的右邊緣，把這兩塊木板的重心放在第三塊木板的右邊緣，把這三塊木板的重心放在第四塊木板的右邊緣⋯⋯利用槓桿原理可以推出，如果每塊木板都是單位長，那麼 n 塊木板可以伸出桌面 (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n) / 2 個單位的長度。由調和級數的性質，我們立即可以得知，只要木板數量足夠多，木塊伸出桌面的長度是沒有上界的，想伸出去多長就能伸出去多長。但同時，這個增長速度也非常緩慢⋯⋯ 20 塊木板只能伸出大約 1.79887 個單位的長度， 1000 塊木板也只能伸出大約 4.8938 個單位的長度。

    

    不過，採用一些其它的方案（比如拿幾塊木板在後方作為「配重」），我們可以讓木板伸出的長度更遠。下面是一篇非常經典的論文，總結了目前對這個問題的研究結果： http://arxiv.org/abs/0707.0093 。

 
 
    上樓時，人克服重力做功，需要耗費很多能量。但是，在平地上行走時，人並沒有做功。那麼，為什麼我們走路時還要耗費能量呢？

    1999 年 3 月的 Scientific American 上說到，其實在步行時，我們也是要克服重力做功的。這是因為，在步行的過程中，人的重心會一上一下地擺動。當兩腿一前一後著地時，人的重心偏低；而單腿著地邁步時，人的重心會升高大約 3cm 。我們走路的能量主要就消耗在了這裡。
    當然，事實上，即使人不走路，光是原地站著，也是要耗費能量的（大約為 80W ）。假設人的步行速度是 v ，那麼步行所用的能量可以用公式 P = 80W + K‧v 大致算出，其中 K‧v 就是步行過程中耗費的能量，係數 K 大約為 160N 。
    教中學物理最怕聰明孩子，一些古怪的問題常常會讓老師也支支吾吾答不上來。初中物理中，有幾個最不好給學生解釋的事情。走路不做功，為什麼還要耗費能量？電流從電廠來又回到電廠去，為什麼我們還要支付電費？把裝滿水的水杯不蓋紙片直接倒過來，為什麼大氣壓沒有把水支撐起來？拳頭打在牆上後將會受到牆給拳頭的反作用力，但若拳頭揮空了，這個力的反作用力是什麼？
    你都打算怎麼解釋？

 
 
    橄欖油的沸點是 300℃ ，錫的熔點是 231.9℃ 。為什麼我們能在錫鍋裡炸東西？

    答案：橄欖油並沒有沸騰，沸騰的其實是食物裡的水。而且，正是食物裡的水才讓橄欖油和錫鍋都保持在 100℃ 。如果食物裡的水被燒乾了，食物就會被燒焦，錫鍋當然也會被燒燬。

 
 
    在晃動的火車車廂上，把一瓶水放在小桌子上。如果想讓這瓶水放得更穩，有一個極其簡單的方法。這個方法是什麼？

    答案：喝掉一部分水，讓整瓶水的重心下降。
    注意，這裡又有一個有趣的極值問題。如果瓶子裡裝滿水，整個系統的重心顯然要比只裝有一部分水時更高；但若把水全部喝掉，只剩一個空瓶子，整個系統的重心仍然會比有一部分水時高。建立模型，求出使得整個系統重心最低的水位高度，是一個絕佳的物理課題。
    有一個蠻有意思的結論：當整個系統的重心達到最低時，水位一定和此時整個系統的重心高度相同。其實這個很好理解：當水位沒有達到整個系統的重心高度時，每加一點水，都相當於在重心下方填充質量，讓重心下降；但水位高度超過了整個系統的重心，則每加一點水，都相當於在重心上方新添質量，重心便會開始上升了。

 
 
    12 節 1V 的電池首尾相接，然後將一塊電壓表如圖連接。電壓表的示數是多少？

    

    有時候，方言的力量真是強大。看到這個題目後，我腦子裡閃過的第一個形容詞就是重慶話「想得出來」，但始終沒找到合適的普通話替代詞。總之，這題可以說是非常具有想像力了。
    答案是 0V 。假設每個電池的內電阻是 R ，這個回路的電流就等於 12V 除以 12R ，即 (1V)/R 。於是，每個電池的內電壓就是 R‧(1V)/R = 1V ，而這恰好是這個電池的電動勢。因此，每個電池的外電壓都為 0 。對於一組連續的電池來說，這個推理同樣成立。

 
 
    為什麼跳蚤、蚱蜢、人和獅子，尺寸差異那麼大，但能跳起的最高高度都是 1 米左右（最多相差一個不超過 2 的係數）？

    看到這個問題之後，我在 Google 裡搜了一下，竟然真是這樣。貓貓狗狗老鼠老虎，可以跳起的高度都在 1 米這個尺度左右——貓貓和狗狗都能跳 1 米左右，老鼠能跳 40 釐米，老虎能跳 2 米。你以為袋鼠牛 B 嗎？其實袋鼠也只能跳 2 到 3 米高。注意，這裡的跳起高度並不是指「手能摸到的高度」，而是生物讓自己重心升高的高度。
    有人可能想到了原因。一個動物身體小，力量也小，但正因為它身體小，跳起 1 米也不需要太大的力。反之，大型動物力量倒是大，不過要跳起來確實也需要很大的力。這就讓動物們能夠跳起的高度變得平衡。
    不過，為什麼這兩個因素能夠平衡，而不是一個壓過另一個呢？假設生物的形體和密度都相近，我們就可以漂亮地證明這一點：把一次跳躍中足部可以提供的能量記作 E ，生物自身的重量則記作 W ，那麼生物跳起的高度應該正比於 E/W 。如果再把生物的尺寸（一維上的長度，比如身長）記作 L ，那麼 W 是與 L³ 成正比的。而 E 則等於肌肉提供的力乘以這個力能夠牽引的肢體運動距離，其中前者與肌肉的橫截面積成正比，也就與 L² 成正比，後者和足部長度成正比，也就是和 L 成正比。因此， E 和 L³ 成正比。於是， E/W 與 L 無關！
    小時候大家應該都聽說過，跳蚤巨牛無比，能跳起 1 米多高，是自身高度的 100 多倍。原來，不管什麼都能跳起 1 米多高，這個倍數關係這麼驚人，只是因為跳蚤自己太矮罷了。

 
 
    一個空心正方體的內部有六面牆。能否讓一個小球在每一面牆上都各反彈一次，最後又回到出發點（假設沒有重力）？

    

    可以。這是由 Hugo Steinhaus 首先發現的。注意，每反彈一次，只會讓速度中的其中一個份量變為相反數，因此六次反彈後，速度向量會和出發時相同。為了讓六次反彈後還能回到出發點，我們只需要再讓各段路程的長度都相同就行了。上圖中的方案裡，每段路程都是一個小立方體的對角線，因而最後就正好能回到原點。

 
 
    一個物塊從高度為 h 的光滑斜面頂端開始下滑，下滑到底端後沿光滑水平面以速度 v 勻速直線運動下去。初始時，物塊的重力勢能為 mgh ；到了斜面底部後，重力勢能為0，完全轉化為了動能 (1/2)mv²。由此我們可以解出， v = √2gh 。
    現在，假設你坐在一個以 v 的速度向右做勻速直線運動的車裡。如果以你為參照物，你將會看到，斜面頂端的物塊初始時機械能為 mgh + (1/2)mv²，而到了斜面底端後，機械能突然變成 0 了！這該怎麼解釋呢？

    

    這是一個非常漂亮的問題，大家不妨多想一想。簡單地說，就是在新的參照系下，物體並不是沿著直線下滑，斜面也對物體做功了。不過，這只能解釋一部分「消失」的機械能。具體答案在 http://star.tau.ac.il/QUIZ/99/A07.99.html。

 
 
    有一段橫截面是等邊三角形的木頭，密度為 0.5g/cm³ 。它在水中漂浮時，哪頭會朝上？

    

    答案：如圖所示，漂浮時，它的其中一條中線一定和水面重合。這是因為，通過計算可知，此時整個物體的重心 G₁ 和浸入水中的部分的重心 G₂ （也就是浮力的作用點）正好在同一豎直線上，並且高度差達到最小值。

 
 
    20 世紀初，一本名為 Power 的雜誌上曾經登載了這樣一個永動機模型。如圖，把光滑繩圈套在滑輪上，繩圈右側浸在水中。於是，繩圈右側將持續受到一個豎直向上的浮力，繩子便逆時針轉動了起來。
    這個永動機模型可行嗎？如果不可行，問題出在哪兒？

    

    答案：廢話，當然不可行。可是，這個模型錯在哪兒呢？注意，浮力其實是物體上下表面的液體壓強差產生的。因此，浮力只會出現在完全浸入液體，或者漂浮在液體表面的物體上。在這個例子中，繩子並不會受到浮力。如果你把繩子想像成是一片片圓盤拼成的，每個圓盤都只受到側面來的液體壓強，在繩子的方向上是不可能有力產生的。
    圍觀更多的永動機，請移步 http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_perpetual_motion_machines 。

 
 
    秤上放著一個玻璃瓶子，瓶蓋是密封的。一隻蒼蠅飛在瓶子中，沒有挨著瓶子。秤的示數等於瓶子的重量，還是大於瓶子的重量？如果蒼蠅靠栓在身上的一個小氫氣球浮在瓶子中呢？

    這是一個經典問題了。對於前一個問題，秤的示數應該大於瓶子的重量，多的這點重量正好就是蒼蠅自身的重量。這是因為，蒼蠅要想飛起來，必須要給空氣一個等於自身重量的向下的力（從而獲得一個等於自身重量的向上的力）。空氣將會把這個力傳到瓶底，也就是對瓶底施加一個相同的力。
    對於第二個問題，答案是，秤的示數就等於瓶子的重量。如果蒼蠅受空氣浮力懸浮在空中，我們就可以把蒼蠅連同氣球所佔據的位置等價地用空氣來替換，畢竟瓶子裡懸浮著一隻氣球蒼蠅和懸浮著一坨空氣沒什麼兩樣嘛。這樣看來，秤的示數就是瓶子的重量了。
    這個問題扯開來，也有一大堆可以說的。初中物理有一道經典題目：把一杯水放在秤上，然後手指伸進水裡（手指未碰到杯底，水未溢出），問秤的示數怎麼變。答案是，變大了。因為水位升高，對杯底的水壓增大了，從而杯底受到的壓力也就增大了。當然，按照之前的思路，我們還有一個更好的解釋。你的手指受到了一個豎直向上的浮力，水自然也就受到了一個豎直向下的反作用力，這個力的大小就等於手指排開水的重量。因此，你可以把手佔據的位置替換成一堆水。可見，杯子裡的水量相當於是憑空增加了，秤的示數自然也就增加了。
    大家估計聽過一個腦筋急轉彎，說一個獨木橋載重 80 公斤，為什麼一個重 70 公斤的人可以拿著兩個各重 10 公斤的球過橋？答案是，這個人像雜技演員一樣，輪流把球扔到空中，保證手裡只有一個球。不過大家仔細想想便會發現，這個題明顯有 bug 。你需要給球一個大於 10 公斤的力，才能讓球加速上升；此時，球會給你一個大於 10 公斤的反作用力，這樣就超過獨木橋的載重了。

 
 
    雲是由小水滴組成的。水的密度是空氣密度的 800 多倍。為什麼雲不會掉下來？

    我操，這個問題太有型了！我在反省自己，為什麼小時候聽說「雲是由小水滴組成的」的時候，沒有提出過這個問題呢？
    這個問題的答案是，雲就是會往下掉的，只不過下落的速度非常慢⋯⋯
    雲中的小水滴顆粒極小，因而小水滴受到的空氣阻力，其數量級和自身重力相當。計算可知， 1 微米的水滴下落速度約為 0.13 毫米每秒，也就是一天下降 11 米。即使是 10 微米的水滴，下落速度也很慢，大約每天 1.1 千米。如果不精確測量的話，我們是沒辦法觀察到的。詳細計算過程可以見這裡： http://star.tau.ac.il/QUIZ/98/A10.98.html 。
    這讓我想起一個冷知識：螞蟻是摔不死的，因為空氣阻力和自身重力相當。這又讓我想起一個冷笑話：螞蟻從摩天大樓摔下去，是怎麼死的？答案是——餓死的。

 
 
    利用蹦床一次，你可以跳到多高？

    答案：兩倍原地起跳的高度。蹦床自己既不會消耗能量，也不會提供能量，因而你跳到蹦床上以後，蹦床儲存的彈性勢能只能把你彈回到一次起跳的高度。你在蹦床上再跳一次，便能跳到兩倍高。

 
 
    大家在電影的各種爆炸場面裡都會看見這樣一個情景：一個正在倒下的煙囪，在倒下的過程中，會自己斷成兩截。斷裂處將出現在煙囪的什麼位置？
    這是 MIT 的一道入學考試題。

    

    這個問題很漂亮。在斷裂之前，整個煙囪顯然以一個相同的角速度在下落。考慮煙囪的頂部，由於自身重力的影響，它本來應該下落得更快，但卻被強行地「扳」回到一個和煙囪下部相同的角速度。這使得煙囪最終發生斷裂。計算可知，斷裂將發生在煙囪的 2/3 處。更技術的分析請看 http://star.tau.ac.il/QUIZ/96/A07.96.html 。

 
 
    為什麼床單、被罩、桌布上的污漬都是這種形狀？

    

    相信大家都曾經遇上過這樣的現象吧。這個問題要解釋起來，還真不容易——網上提出此問題後，無一人答對。很多人都說，液體中含有什麼什麼，布料裡含有什麼什麼等等。其實，這種現象是很普遍的，它與布料、溶劑、溶質都沒關係。這種現象真正的原因，是和液體蒸發的模式有關的。如果液體表層蒸發了，液體會向外展開，填充剛剛流失的部分。其結果就是，液體會不斷地向邊緣湧去，造成了邊緣痕跡堆積。

    

    對幾種不同的蒸發模式進行模擬，可以看到不同的污漬形狀，進而很好地說明了上述推測的正確性。

    

 
 
    為什麼水漬是深色的？

    這是個好問題呀！我們每天都會遇上這樣的事情，已經習以為常，卻從來沒有想過為什麼。真要問個為什麼，嘿，還真不好回答。
    在網站上，這個問題同樣無人答對。根據布料的不同，官方給出了兩種解釋，大家可以去看看： http://star.tau.ac.il/QUIZ/96/A11.96.html 。

 
 
    最後，附上一些我以前收集的一些漂亮的物理謎題。

 
 
 
    你現在正位於赤道，此時太陽剛剛升起。你要用一把激光炮轟炸太陽中心。你應該瞄準什麼地方？

    你應該瞄準太陽的中心。有人會說，不對呀，陽光不是會被大氣層折射嗎？但是，你射出的激光也會被折射，由於光路是可逆的，因而你就該瞄準你看到的太陽。有人會說，還是不對呀，太陽光射到地球需要 8 分鐘，你看到的太陽是 8 分鐘前的太陽，現在太陽已經不在原來的位置了呀？你又被坑了——太陽是不動的，動的其實是地球。

 
 
    用天平測量物體的重量（準確地說，是質量）時，如果砝碼有磨損，那麼測量結果會偏大還是偏小？仔細想想吧，這題很容易答錯。

    這是初中物理最陰險的陷阱題目之一。絕大多數人會認為，既然砝碼被磨損了，沒有它標識的那麼重了，那麼測量結果一定是偏小了。答案恰恰相反，如果砝碼有磨損，測量結果應該偏大了。 正因為砝碼沒有它標識的那麼重，所以我們才需要在天平上添加更多的砝碼讓它保持平衡。因此，測量出來的結果會更大一些。

 
 
    用一盆水，一張紙，一台電子秤，如何測量一個給定排球擊打在地上對地的作用力有多大？

    首先把紙張鋪在地上，在排球上蘸水，然後對著地上的紙擊打。這樣一來，紙上便留下了一個圓形的水印。然後，把印有水的紙鋪在電子秤上，把排球放在紙上，一點一點向下擠壓排球，直到排球的下底面與水印重合。此時，電子秤上的示數也就是排球擊打在地上時的作用力了。
    這是間接測量實驗設計問題中讓人拍案叫絕的一道好題。

 
 
    一個人站在湖裡的一艘船上，把一顆石子扔進湖裡。湖水的水位將會發生怎樣的變化？

    答案：湖面將會變低。這是一個非常經典的初中物理問題。由浮力公式，物體所受的浮力等於它排開水的重力。初始時，船、人、石子都在水面上靜止，他們的總浮力（也就是總的排開水重量）等於總重力；但石子投入水中後將會沉底，它所受到的浮力小於它的重力，因此船、人、石子的總浮力（同樣即為排開水的總重）小於他們總重力。也就是說，排開水的總量減少了，因而水位將會下降。
    這是最標準的解法。每次講到這個問題時，我都喜歡講講另外一種直觀的理解方法。不妨把這個將會被投擲出去的石子懸掛在船的底部。由於漂浮在水面上的船、人和石子的總重力不變，因此總的排開水重量也不變，這樣的假設不會改變水位高度。現在，把懸掛石子的繩子剪斷，於是石子下沉，船會上浮一些，致使水位下降。

 
 
    兩根一模一樣的金屬棒，一根是磁鐵，一根是普通的金屬棒。沒有其他工具，怎樣把他們區別開來？

    把他們擺成一個 T 字形。如果相吸，豎著的就是磁鐵；如果沒有相吸，橫著的就是磁鐵。
    磁鐵中部幾乎沒有磁性。

 
 
    為什麼鏡子裡的東西是左右顛倒的，不是上下顛倒的？

    這是一道經典智力題了，鏡子問題、羊與車問題和 0.9999… = 1 的問題可謂是引發口水戰的三大法寶。哪個論壇想要增加人氣的話，把這三個問題挨著發一遍就行了。問題的答案是，鏡子裡的東西既不是左右顛倒，也不是上下顛倒，而是前後顛倒的。不過，人們似乎並不喜歡接受「鏡像」的概念，總愛拿鏡子裡的東西跟實際的東西來比。但是，兩個鏡像的東西怎麼轉都不能完全重合，於是糾結的事情就發生了。如果你想像鏡子裡的東西水平轉 180 度轉回去，這並不能和實際物體重合，每個東西都左右顛倒了。如果你想像鏡子裡的東西豎直方向轉 180 度，這樣也不能和鏡子前的物體重合——左右倒是沒問題，但上下就顛倒了。不過，人們生活在一個水平面上，人本身的對稱軸正好又是豎直方向上，因此人總是習慣性地採用了前一種思維。
    為了擺脫傳統思維的束縛，不妨假設鏡子前的物體是一個三角形什麼的，想像起來就會方便多了。
    Geek 小美女 localhost_8080 曾對左手右手左手系右手系左右顛倒左右鏡像糾結過很久，她曾在 Twitter 上提過一個非常有趣的問題：某地外生命在飛船中，你只能用無線電與它交流，如何通過口頭描述指導它在一雙手套中分辨出右邊的那一隻？
    你打算怎麼辦？

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